13 Term Henderson Moyenne Mobile

Introduction à l'itération B (Tableau B7), itération C (Tableau C7) et itération D (Tableau D7 et Tableau D12), la composante du cycle Tendance est extraite d'une estimation de la série désaisonnalisée en utilisant Les moyennes mobiles Henderson. La longueur du filtre Henderson est choisie automatiquement par X-12-ARIMA en deux étapes. Le choix automatique de l'ordre de la moyenne mobile est basé sur la valeur d'un indicateur appelé ratio qui mesure l'importance de la composante irrégulière dans la série. Plus la composante irrégulière est forte, plus l'ordre de la moyenne mobile est élevé. La procédure utilisée pour chaque itération est très similaire, les seules différences étant le nombre d'options disponibles et le traitement des observations aux deux extrémités de la série. La procédure ci-dessous s'applique aux séries chronologiques mensuelles. Choix automatique de la partie ndash du filtre Henderson B Tout d'abord, le cycle tendanciel est calculé à l'aide d'une moyenne mobile à Henderson de 13 termes comme suit: Ensuite, dans le cas additif, la composante irrégulière est extraite en soustrayant le cycle tendanciel de la série désaisonnalisée. Pour la décomposition multiplicative, une composante irrégulière est extraite en divisant les séries désaisonnalisées par cycle tendanciel. Pour calculer le ratio, une première décomposition de la série SA (désaisonnalisée) est calculée. Pour les composantes C (cycle tendanciel) et I (irrégulier), la moyenne des valeurs absolues des taux de croissance mensuels (modèle multiplicatif) ou mensuelle (modèle additif) est calculée. Les observations au début et à la fin de la série chronologique qui ne peuvent pas être lissées par des moyennes mobiles de Henderson à 13 termes symétriques sont ignorées. Si le rapport est inférieur à 1, une moyenne mobile à Henderson de 9 termes est choisie autrement, une moyenne mobile à Henderson de 13 termes est sélectionnée. Le cycle tendanciel est calculé en appliquant un filtre de Henderson sélectionné à la série désaisonnalisée du tableau B6. Les observations au début et à la fin de la série chronologique qui ne peuvent être calculées au moyen de filtres Henderson symétriques sont estimées par des moyennes mobiles asymétriques ad hoc. Choix automatique du Henderson filter ndash partie C et D Tout d'abord, le cycle tendanciel est calculé à l'aide d'une moyenne mobile à Henderson de 13 termes comme suit: Ensuite, dans le cas additif, la composante irrégulière est extraite en soustrayant le cycle tendanciel de la variation saisonnière séries. Pour la décomposition multiplicative, la composante irrégulière est extraite en divisant les séries désaisonnalisées par cycle tendanciel. Pour calculer le ratio, une première décomposition de la série SA (désaisonnalisée) est calculée. Pour les composantes C (cycle tendanciel) et I (irrégulier), la moyenne des valeurs absolues des taux de croissance mensuels (modèle multiplicatif) ou mensuelle (modèle additif) est calculée. Les observations au début et à la fin de la série chronologique qui ne peuvent pas être lissées par des moyennes mobiles de Henderson à 13 termes symétriques sont ignorées. Si le rapport est inférieur à 1, une moyenne mobile à Henderson de 9 termes est sélectionnée si le ratio est supérieur à 3,5, une moyenne mobile de Henderson de 23 termes est sélectionnée, sinon, une moyenne mobile à Henderson de 13 termes est sélectionnée. Le cycle de tendance est calculé en appliquant un filtre de Henderson sélectionné aux séries désaisonnalisées du tableau C6, tableau D7 ou tableau D12, en conséquence. Aux deux extrémités de la série, où un filtre central d'Henderson ne peut pas être appliqué, on utilise les poids des extrémités asymétriques pour le filtre à Henderson (Note) Comme la série du Tableau C1 a été ajustée pour des valeurs extrêmes, on s'attend à ce que la volonté Être plus petit que celui calculé dans la partie B. Le choix manuel du filtre Henderson X-12-ARIMA permet de choisir manuellement toute moyenne mobile de Henderson numérotée pour l'estimation finale du cycle tendanciel. L'utilisateur peut également modifier le filtre Henderson par défaut asymétrique appliqué pour les observations aux deux extrémités de la série chronologique. Analyse des séries temporelles: le processus de l'ajustement saisonnier Quelles sont les deux philosophies principales de l'ajustement saisonnier Qu'est-ce qu'un filtre Quel est le problème du point final Comment Nous décider quel filtre utiliser Qu'est-ce qu'une fonction de gain Qu'est-ce qu'un changement de phase Quelles sont les moyennes mobiles de Henderson Comment traiter le problème de point final Quelles sont les moyennes mobiles saisonnières Pourquoi les estimations de tendance sont révisées Quelles sont les données nécessaires pour obtenir des données saisonnières acceptables Estimations ajustées AVANCÉ Comment les deux philosophies d'ajustement saisonnier comparent-elles QUELLES SONT LES DEUX PRINCIPALES PHILOSOPHIES DE L'AJUSTEMENT SAISONNIER Les deux principales philosophies pour l'ajustement saisonnier sont la méthode basée sur le modèle et la méthode basée sur le filtre. Méthodes basées sur les filtres Cette méthode applique un ensemble de filtres fixes (moyennes mobiles) pour décomposer la série chronologique en une composante tendance, saisonnière et irrégulière. La notion sous-jacente est que les données économiques se composent d'une série de cycles, y compris les cycles économiques (la tendance), les cycles saisonniers (saisonnalité) et le bruit (la composante irrégulière). Un filtre enlève ou réduit la force de certains cycles à partir des données d'entrée. Pour produire une série désaisonnalisée à partir des données recueillies mensuellement, les événements qui surviennent tous les 12, 6, 4, 3, 2,4 et 2 mois doivent être supprimés. Elles correspondent à des fréquences saisonnières de 1, 2, 3, 4, 5 et 6 cycles par an. Les cycles non saisonniers plus longs sont considérés comme faisant partie de la tendance et les cycles non saisonniers plus courts forment l'irrégulier. Cependant, la limite entre la tendance et les cycles irréguliers peut varier en fonction de la longueur du filtre utilisé pour obtenir la tendance. Dans l'ajustement saisonnier de l'ABS, les cycles qui contribuent de façon significative à la tendance sont généralement plus grands que environ 8 mois pour les séries mensuelles et 4 trimestres pour les séries trimestrielles. La tendance, les composantes saisonnières et irrégulières n'ont pas besoin de modèles individuels explicites. La composante irrégulière est définie comme ce qui reste après la tendance et les composantes saisonnières ont été supprimées par des filtres. Les parasites ne présentent pas de caractéristiques de bruit blanc. Les méthodes basées sur un filtre sont souvent appelées méthodes de style X11. X11ARIMA (développé par Statistique Canada), X12ARIMA (développé par le US Census Bureau), STL, SABL et SEASABS (le paquet utilisé par l'ABS). Les différences de calcul entre les différentes méthodes dans la famille X11 sont principalement le résultat de différentes techniques utilisées aux extrémités de la série chronologique. Par exemple, certaines méthodes utilisent des filtres asymétriques aux extrémités, alors que d'autres méthodes extrapolent les séries temporelles et appliquent des filtres symétriques à la série étendue. Méthodes basées sur des modèles Cette approche exige que la tendance, les composantes saisonnières et irrégulières des séries temporelles soient modélisées séparément. Il suppose que la composante irrégulière est le bruit blanc 8221 - c'est-à-dire que toutes les longueurs de cycle sont également représentées. Les irréguliers ont une moyenne nulle et une variance constante. La composante saisonnière a son propre élément sonore. Les deux méthodes les plus utilisées sont STAMP et SEATSTRAMO (développées par la Banque d'Espagne).Les principales différences de calcul entre les différentes méthodes basées sur un modèle sont généralement dues aux spécifications du modèle. Pour comparer les deux philosophies à un niveau plus avancé, voir Comment les deux philosophies d'ajustement saisonnier se comparent. QU'EST-CE QU'UN FILTRE? Les filtres peuvent être utilisés pour se décomposer Une série temporelle en une composante saisonnière et irrégulière. Les moyennes mobiles sont un type de filtre qui successivement la moyenne d'un intervalle de temps de changement de données afin de produire une estimation lissée d'une série chronologique. Cette série lissée peut être considérée comme ayant été dérivé En exécutant une série d'entrées par un processus qui filtre certains cycles. Par conséquent, une moyenne mobile est souvent appelée filtre. Le processus de base implique la définition d'un ensemble de poids de longueur m 1 m 2 1 comme: Remarque: un ensemble symétrique de poids a m 1 m 2 et wjw - j Une valeur filtrée à l'instant t peut être calculée par où Y t décrit la valeur De la série temporelle à l'instant t. Par exemple, considérons la série suivante: En utilisant un simple filtre symétrique à 3 termes (c'est-à-dire m 1 m 2 1 et tous les poids sont 13), le premier terme de la série lissée est obtenu en appliquant les poids aux trois premiers termes de l'original Série: La deuxième valeur lissée est produite en appliquant les poids aux deuxième, troisième et quatrième termes de la série originale: QU'EST-CE QUE LE PROBLÈME DE POINT FINAL Reconsidérer la série: Cette série contient 8 termes. Cependant, la série lissée obtenue en appliquant le filtre symétrique aux données d'origine contient seulement 6 termes: C'est parce qu'il ya des données insuffisantes aux extrémités de la série pour appliquer un filtre symétrique. Le premier terme de la série lissée est une moyenne pondérée de trois termes, centrée sur le deuxième terme de la série originale. Une moyenne pondérée centrée sur le premier terme de la série originale ne peut être obtenue comme données avant que ce point ne soit disponible. De même, il n'est pas possible de calculer une moyenne pondérée centrée sur le dernier terme de la série, car il n'y a pas de données après ce point. Pour cette raison, les filtres symétriques ne peuvent pas être utilisés à chaque extrémité d'une série. C'est ce qu'on appelle le problème du point final. Les analystes de séries chronologiques peuvent utiliser des filtres asymétriques pour produire des estimations lissées dans ces régions. Dans ce cas, la valeur lissée est calculée 8216 au centre 8217, la moyenne étant déterminée en utilisant plus de données d'un côté du point que l'autre en fonction de ce qui est disponible. En variante, des techniques de modélisation peuvent être utilisées pour extrapoler les séries chronologiques et ensuite appliquer des filtres symétriques à la série étendue. COMMENT DÉFINIR LE FILTRE À UTILISER? L'analyste de la série chronologique choisit un filtre approprié en fonction de ses propriétés, par exemple les cycles que le filtre supprime lorsqu'il est appliqué. Les propriétés d'un filtre peuvent être étudiées en utilisant une fonction de gain. Les fonctions de gain sont utilisées pour examiner l'effet d'un filtre à une fréquence donnée sur l'amplitude d'un cycle pour une série temporelle donnée. Pour plus de détails sur les mathématiques associées aux fonctions de gain, vous pouvez télécharger les Notes de cours sur les séries chronologiques, un guide d'introduction à l'analyse des séries chronologiques publiées par la Section d'analyse des séries chronologiques de l'ABS. Le diagramme suivant est la fonction de gain pour le filtre à trois termes symétrique que nous avons étudié précédemment. Figure 1: Fonction de gain pour le filtre à trois termes symétrique L'axe horizontal représente la longueur d'un cycle d'entrée par rapport à la période entre les points d'observation de la série temporelle initiale. Ainsi, un cycle d'entrée de longueur 2 est terminé en 2 périodes, ce qui représente 2 mois pour une série mensuelle et 2 trimestres pour une série trimestrielle. L'axe vertical indique l'amplitude du cycle de sortie par rapport à un cycle d'entrée. Ce filtre réduit la force de 3 cycles de période à zéro. Autrement dit, il supprime complètement des cycles d'environ cette longueur. Cela signifie que pour une série chronologique où les données sont collectées mensuellement, tous les effets saisonniers qui se produisent trimestriellement seront éliminés en appliquant ce filtre à la série originale. Un décalage de phase est le décalage temporel entre le cycle filtré et le cycle non filtré. Un déphasage positif signifie que le cycle filtré est décalé vers l'arrière et un déphasage négatif, il est décalé vers l'avant dans le temps. Le décalage de phase se produit lorsque la synchronisation des points de retournement est déformée, par exemple lorsque la moyenne mobile est décentrée par les filtres asymétriques. C'est qu'ils se produiront soit plus tôt ou plus tard dans la série filtrée, que dans l'original. Les moyennes mobiles symétriques de longueur impair (utilisées par l'ABS), où le résultat est placé au centre, ne provoquent pas de décalage de phase. Il est important pour les filtres utilisés pour dériver la tendance à conserver la phase de temps, et donc le moment de tous les points de retournement. Les figures 2 et 3 montrent les effets de l'application d'une moyenne mobile symétrique 2x12 qui est décentrée. Les courbes continues représentent les cycles initiaux et les courbes brisées représentent les cycles de sortie après application du filtre de moyenne mobile. Figure 2: Cycle de 24 mois, phase -5,5 mois Amplitude 63 Figure 3: Cycle de 8 mois, Phase -1,5 mois Amplitude 22 QUELLES SONT LES MOYENS MOYENS DE HENDERSON Les moyennes mobiles de Henderson sont des filtres dérivés de Robert Henderson en 1916 pour les applications actuarielles. Ils sont des filtres de tendance, couramment utilisés dans l'analyse des séries temporelles pour lisser les estimations désaisonnalisées afin de générer une estimation de la tendance. Ils sont utilisés de préférence à des moyennes mobiles plus simples, car ils peuvent reproduire des polynômes de degré 3, capturant ainsi des points de retournement de tendance. L'ABS utilise les moyennes mobiles Henderson pour produire des estimations de tendances à partir d'une série désaisonnalisée. Les estimations de tendance publiées par l'ABS sont généralement dérivées à l'aide d'un filtre de Henderson de 13 termes pour les séries mensuelles et d'un filtre de Henderson à sept termes pour les séries trimestrielles. Les filtres Henderson peuvent être symétriques ou asymétriques. Les moyennes mobiles symétriques peuvent être appliquées à des points suffisamment éloignés des extrémités d'une série temporelle. Dans ce cas, la valeur lissée pour un point donné dans la série temporelle est calculée à partir d'un nombre égal de valeurs de chaque côté du point de données. Pour obtenir les pondérations, un compromis est trouvé entre les deux caractéristiques généralement attendues d'une série de tendances. Il s'agit de la tendance devrait être capable de représenter un large éventail de courbures et qu'il devrait aussi être aussi lisse que possible. Pour la dérivation mathématique des poids, se reporter à la section 5.3 des Notes de cours sur les séries chronologiques. Qui peut être téléchargé gratuitement sur le site Web ABS. Les modèles de pondération pour une gamme de moyennes mobiles Henderson symétriques sont donnés dans le tableau suivant: Motif de pondération symétrique pour Henderson Moyenne mobile En général, plus le filtre de tendance est long, plus la tendance résultante est lissée, comme le montre une comparaison des fonctions de gain au dessus de. Un terme de 5 Henderson réduit les cycles d'environ 2,4 périodes ou moins d'au moins 80, alors qu'un terme de 23 Henderson réduit cycles d'environ 8 périodes ou moins d'au moins 90. En fait, un terme de 23 Henderson filtre supprime complètement les cycles de moins de 4 périodes . Moyennes mobiles Henderson également amortir les cycles saisonniers à des degrés divers. Cependant, les fonctions de gain des figures 4-8 montrent que les cycles annuels des séries mensuelles et trimestrielles ne sont pas suffisamment amortis pour justifier l'application directe d'un filtre Henderson aux estimations initiales. C'est pourquoi ils ne sont appliqués qu'à une série désaisonnalisée, où les effets liés au calendrier ont déjà été supprimés avec des filtres spécialement conçus. La figure 9 montre les effets de lissage de l'application d'un filtre Henderson à une série: Figure 9: Filtre Henderson à 23 termes - Valeur des approbations de bâtiments non résidentiels COMMENT TROUVER LE PROBLÈME DE POINT FINAL Le filtre Henderson symétrique ne peut être appliqué qu'aux régions De données suffisamment éloignées des extrémités de la série. Par exemple, le terme standard Henderson ne peut être appliqué qu'aux données mensuelles qui sont au moins 6 observations du début ou de la fin des données. C'est parce que le filtre de la souplesse de la série en prenant une moyenne pondérée des 6 termes de chaque côté du point de données ainsi que le point lui-même. Si nous essayons de l'appliquer à un point qui est inférieur à 6 observations à partir de la fin des données, il n'y a pas assez de données disponibles d'un côté du point pour calculer la moyenne. Pour fournir des estimations de tendance de ces points de données, une moyenne mobile modifiée ou asymétrique est utilisée. Le calcul des filtres Henderson asymétriques peut être généré par un certain nombre de méthodes différentes qui produisent des résultats similaires mais non identiques. Les quatre méthodes principales sont la méthode de Musgrave, la méthode de Minimisation de la Méthode de Révision Moyenne, la méthode de Meilleure Estimation Intégrée Linéaire (BLUE) et la méthode de Kenny et Durbin. Shiskin et coll. Al (1967) ont dérivé les poids asymétriques initiaux pour la moyenne mobile Henderson qui sont utilisés dans les paquets X11. Pour plus d'informations sur la dérivation des poids asymétriques, voir la section 5.3 des Notes de cours sur les séries chronologiques. Considérons une série chronologique où le dernier point de données observé se produit au temps N. Ensuite, un filtre à Henderson de 13 termes symétriques ne peut pas être appliqué aux points de données qui sont mesurés à tout moment après et incluant le temps N-5. Pour tous ces points, un jeu asymétrique de poids doit être utilisé. Le tableau suivant donne le modèle de pondération asymétrique pour une moyenne mobile de Henderson de 13 termes. Les filtres Henderson de 13 termes asymétriques ne suppriment pas ou n'émettent pas les mêmes cycles que le filtre à Henderson à 13 termes symétriques. En fait, le modèle de pondération asymétrique utilisé pour estimer la tendance à la dernière observation amplifie la force de 12 cycles de période. Les filtres asymétriques produisent également un décalage de phase temporel. QU'EST-CE QUE LES MOYENS MOYENS SAISONNIERS Presque toutes les données étudiées par l'ABS ont des caractéristiques saisonnières. Puisque les moyennes mobiles Henderson utilisées pour estimer les séries de tendances n'éliminent pas la saisonnalité, les données doivent être corrigées des variations saisonnières en utilisant les filtres saisonniers. Un filtre saisonnier a des poids qui sont appliqués à la même période dans le temps. Un exemple du modèle de pondération pour un filtre saisonnier serait: (0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 13) où, par exemple, on applique un poids d'un tiers à trois janvier consécutifs. Au sein de X11, une gamme de filtres saisonniers sont disponibles au choix. Il s'agit d'une moyenne mobile à 3 mois pondérée (ma) S 3x1. Pondéré à 5 termes ma S 3x3. Pondéré à sept termes ma S 3x5. Et une pondération de 11 termes ma S 3x9. La structure de pondération des moyennes mobiles pondérées de la forme, S nxm. Est qu'une moyenne simple de m termes calculés, puis une moyenne mobile de n de ces moyennes est déterminée. Cela signifie que les termes nm-1 sont utilisés pour calculer chaque valeur lissée finale. Par exemple, pour calculer un terme à 11 S 3x9. Un poids de 19 est appliqué à la même période en 9 années consécutives. Ensuite, une moyenne mobile de 3 termes simples est appliquée aux valeurs moyennes: Ceci donne un modèle de pondération final de (127, 227, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 19, 227, 127). La fonction de gain pour un filtre saisonnier de 11 termes, S 3x9. (S 3x9) L'application d'un filtre saisonnier aux données générera une estimation de la composante saisonnière de la série chronologique car elle préserve la force des harmoniques saisonnières et amortit les cycles de non - Saisonnières. Des filtres saisonniers asymétriques sont utilisés aux extrémités de la série. Les poids asymétriques pour chacun des filtres saisonniers utilisés dans X11 se trouvent à la section 5.4 des Notes de cours sur les séries chronologiques. POURQUOI LES ESTIMATIONS DES TENDANCES SONT RÉVISÉES À la fin d'une série chronologique, il n'est pas possible d'utiliser des filtres symétriques pour estimer la tendance à cause du problème du point final. Au lieu de cela, les filtres asymétriques sont utilisés pour produire des estimations de tendance provisoires. Toutefois, au fur et à mesure que davantage de données sont disponibles, il est possible de recalculer la tendance en utilisant des filtres symétriques et d'améliorer les estimations initiales. C'est ce qu'on appelle une révision des tendances. QUELLES SONT LES DONNÉES NÉCESSAIRES POUR OBTENIR DES ESTIMATIONS ACCEPTABLES SAISONNÉES Si une série temporelle présente une saisonnalité relativement stable et n'est pas dominée par la composante irrégulière, on peut considérer que les données sur 5 années peuvent être considérées comme acceptables pour obtenir des estimations désaisonnalisées. Pour une série qui affiche une saisonnalité particulièrement forte et stable, un ajustement brut peut être effectué avec 3 années de données. Il est généralement préférable d'avoir au moins 7 ans de données pour une série chronologique normale, afin d'identifier précisément les tendances saisonnières, les effets de jours de négociation et de déplacement, les ruptures de tendance et saisonnières, ainsi que les valeurs aberrantes. Les approches basées sur des modèles permettent les propriétés stochastiques (aléatoire) de la série sous analyse, en ce sens qu'elles adaptent les poids des filtres en fonction de la nature de la série. La capacité du modèle 8217s pour décrire avec précision le comportement de la série peut être évaluée, et des inférences statistiques pour les estimations sont disponibles basées sur l'hypothèse que la composante irrégulière est le bruit blanc. Les méthodes basées sur les filtres sont moins dépendantes des propriétés stochastiques de la série chronologique. Il est de la responsabilité de l'analyste de séries chronologiques de choisir le filtre le plus approprié d'une collection limitée pour une série particulière. Il n'est pas possible d'effectuer des contrôles rigoureux sur l'adéquation du modèle implicite et des mesures exactes de précision et d'inférence statistique ne sont pas disponibles. Par conséquent, un intervalle de confiance ne peut pas être construit autour de l'estimation. Les diagrammes suivants comparent la présence de chacun des composantes du modèle aux fréquences saisonnières pour les deux philosophies d'ajustement saisonnier. L'axe des x est la longueur de la période du cycle et l'axe des y représente la force des cycles qui composent chaque composante: Figure 11: Comparaison des deux philosophies d'ajustement saisonnier Les méthodes basées sur le filtre supposent que chaque composante n'existe qu'une certaine longueur de cycle. Les cycles plus longs constituent la tendance, la composante saisonnière est présente aux fréquences saisonnières et la composante irrégulière est définie comme des cycles de toute autre longueur. Dans une philosophie basée sur un modèle, la tendance, la composante saisonnière et irrégulière sont présentes à toutes les longueurs de cycle. La composante irrégulière est de force constante, la composante saisonnière atteint un pic aux fréquences saisonnières et la composante tendancielle est plus forte dans les cycles plus longs. Cette page a été publiée pour la première fois le 14 novembre 2005, dernière mise à jour le 25 juillet 2008